傅里叶级数

李永乐老师讲傅里叶

变换

一个二维图像可以变成二维坐标

$$e_i \cdot e_i = 1$$ $$e_i \cdot e_j = 0$$

傅里叶级数（周期性函数）

周期性函数f(t)=正(余)弦 函数之和
把不同的函数当成不同的基函数
获得不同的信号的 频率、振幅、相位

$$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum a_n\sin(n\omega t+\varphi_n)$$ $$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum a_n\sin(n\omega t) +\sum b_n\cos(n\omega t)$$

将正弦看作一个正交基，余弦看作一个正交基，常数项看作一个正交基，是三个正交基的线性组合。

傅里叶变换（针对非周期函数）

想象一个二维 直角坐标系，横轴是1，纵轴是i

$$\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$$

$\theta = wt$
$e^{iwt}$为逆时针旋转
将一个非周期的信号

$$F_T = \int_{-\infty}^{+infty}f(t)e^{-jwt}dt = 0 或者非0$$

得到一个复数，实数代表相应频率的强度，虚数代表相位。

应用

1. 声音：大脑可以进行傅里叶变换，得到不同频率的强度，低频强度高的是男声，高的是女生。
   人脑还能滤波，只听一个人的声音。
2. 图像：对人脸傅里叶变换，低频成分表示轮廓，高频表示细节部分。过滤到细节，可以去除斑点皱纹。